Riješite diferencijalnu jednadžbu .

Rješenje. Prebacimo li na desnu stranu i podijelimo s , dobijemo linearnu diferencijalnu jednadžbu prvog reda:

.

Riješit ćemo je Eulerovom metodom. Eulerov multiplikator iznosi

pa, pomnožimo li njime DJ dobijemo

odnosno

odakle slijedi

pa je rješenje

Instrukcije iz matematike Zagreb

Izračunajte .

Rješenje. Integral se rješava supstitucijom:

Instrukcije iz matematike Zagreb

Odredite partikularno rješenje diferencijalne jednadžbe

.

Rješenje. U pitanju je linearna diferencijalna jednadžba prvog reda. Riješit ćemo je Eulerovom metodom.

Izračunajmo multiplikator:

Kada s njim pomnožimo zadanu linearnu diferencijalnu jednadžbu i sredimo, dobijemo

odnosno

Integriranjem gornjeg dalje slijedi

I, dijeljenjem s

Ostaju još početni uvjeti. Kada uvrstimo i u opće rješenje, nalazimo da je , pa je rješenje:

Instrukcije iz matematike Zagreb

Riješite diferencijalnu jednadžbu

Rješenje. Zbog oblika, slutnja je da bi jednadžba mogla biti egzaktna. Označimo

Kako je

to zadana diferencijalna jednadžba jest egzaktna.

Rješavamo je unazad od postupka kako se dobiva. Stavimo, dakle,

S druge strane, mora vrijediti  ,  pa imamo dalje

odakle slijedi i

.

Znači, , a rješenje zadane diferencijalne jednadžbe je

.

Instrukcije iz matematike Zagreb

Izračunajte .

Rješenje. Prvo ćemo malo pojednostaviti integral supstitucijom

pa (neodređeni) integral postaje

a taj se rješava metodom parcijalne integracije. Stavimo li

primjenom formule za parcijalnu integraciju imamo

Integral iz zagrade isto rješavamo parcijalnom integracijom stavljajući , , pa konačno dobivamo da je (vratimo supstituciju)

pa je

Instrukcije iz matematike Zagreb

Nađi kvocijent geometrijskog niza ako su dva njegova člana , .

Rješenje. Znamo da opći član geometrijskog niza glasi

što nam da je da je

odakle, dijeljenjem s imamo dalje

,

odnosno

.

Instrukcije iz matematike Zagreb

Riješi u skupu jednadžbu

Rješenje. Uvrstimo li algebarski oblik kompleksnog broja u zadanu jednadžbu, dobijemo

odakle, kvadriranjem i množenjem s i, dalje slijedi

i konačno

.

Gornji će kompleksni broj biti nula ako i samo ako su realni i imaginarni dijelovi nula:

Ako u drugoj jednadžbi izlučimo x, dobijemo , a to će biti nula ako je

Uvrstimo li x = 0 u (i), ona postaje

odakle dobivamo i , pa su prva dva rješenja:

.

Uvrstimo li u (i), dobijemo

pa su treće i četvrto rješenje:

Instrukcije iz matematike Zagreb

]]> http://matematko.wordpress.com/2012/01/04/jednadzba-s-kompleksnim-brojevima/feed/ 0 matematickopodzemlje http://matematko.wordpress.com/2012/01/04/trigonometrijska-jednadzba-u-3-gimnazije/ http://matematko.wordpress.com/2012/01/04/trigonometrijska-jednadzba-u-3-gimnazije/#comments Wed, 04 Jan 2012 12:55:16 +0000 Vlado http://matematko.wordpress.com/?p=209 Nastavi čitati →]]> U jednoj zagrebačkoj gimnaziji je na testu bila zadana sljedeći zadatak s trigonometrijskom jednadžbom:

Riješi jednadžbu: .

Rješenje. Pomnožimo li zadanu trigonometrijsku jednadžbu sa dobijemo

te, nadalje, korištenjem identiteta

što sređivanjem daje

Izlučimo li dobijemo

pa se jednadžba “raspada” na dvije trigonometrijske jednadžbe:

Rješenja jednadžbe su brojevi oblika

Drugu jednadžbu lako riješimo dijeljenjem s i sređivanjem što daje jednadžbu čija su rješenja

Instrukcije iz matematike Zagreb

]]> http://matematko.wordpress.com/2012/01/04/trigonometrijska-jednadzba-u-3-gimnazije/feed/ 0 matematickopodzemlje http://matematko.wordpress.com/2012/01/03/integral-s-fer-a-dz-11-7-zadatak/ http://matematko.wordpress.com/2012/01/03/integral-s-fer-a-dz-11-7-zadatak/#comments Tue, 03 Jan 2012 14:00:23 +0000 Vlado http://matematko.wordpress.com/?p=200 Nastavi čitati →]]> U 11. domaćoj zadaći na Fakultetu elektrotehnike i računalstva (FER) iz Matematike 1 je bio zadan sljedeći zadatak:

Izračunajte .

Rješenje. Riješit ćemo prvo neodređeni integral pa ćemo primijeniti Newton-Leibnizovu formulu. Sam integral se rješava metodom supstitucije:

Konačno je

Instrukcije iz matematike Zagreb

Izračunajte .

Rješenje. Integral se rješava metodom parcijalne integracije. Imamo:

Formula za parcijalnu integraciju nam dalje daje

Instrukcije iz matematike Zagreb