Potencijal vektorskog polja na Građevinskom fakultetu

Objavljeno 18/12/2011 by

Na 3. kolokviju iz Matematike 2, na Građevinskom fakultetu u Zagrebu, bio je zadan sljedeći zadatak:

Dano je vektorsko polje \vec{a}(x,y,z)=yz\vec{i}+xz\vec{j}+xy\vec{k}. Pokažite da je polje potencijalno i odredite njegov potencijal.

Rješenje. Da bi vektorsko polje bilo potencijalno, nužno je i dovoljno da mu je rotor jednak nuli.

\displaystyle \mathrm{rot}\,\vec{a}=\left|\begin{array}{ccc} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k}\\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\ yz & xz & xy\\ \end{array}\right| = \vec{i}(x-x)-\vec{j}(y-y)+\vec{k}(z-z)=0,

pa je polje potencijalno.

Ako je vektorsko polje potencijalno, postoji skalarno polje f(x,y,z) takvo da je \nabla f = \vec{a}. Iz toga slijedi da je

\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x} = yz,\qquad \frac{\partial f}{\partial y} = xz,\qquad \frac{\partial f}{\partial z} = xy

odakle, integriranjem prve jednakosti, imamo

f(x,y,z)=xyz + \varphi(y,z),

pa parcijalnim deriviranjem po y i uspoređivanjem dobijemo da je

\displaystyle \frac{\partial\varphi}{\partial y}=0\quad\Rightarrow\quad \varphi(y,z) =c.

Slično, deriviranjem po z dobijemo isti rezultat, pa je potencijal

f(x,y,z)=xyz + c.

Instrukcije iz matematike Zagreb

 

Ovaj unos je objavljen u Građevinski fakultet Zagreb, Vektorska analiza i označen sa , , , , , , , , , , . Bookmarkirajte stalnu vezu.

Odgovori

Fill in your details below or click an icon to log in:

Gravatar
WordPress.com Logo

Ovaj komentar pišete koristeći vaš WordPress.com račun. ( Log Out / Promjeni )

Twitter picture

Ovaj komentar pišete koristeći vaš Twitter račun. ( Log Out / Promjeni )

Facebook slika

Ovaj komentar pišete koristeći vaš Facebook račun. ( Log Out / Promjeni )

Otkaži

Spajanje na %s