Porast mase za 50% tijekom godine

Objavljeno 06/12/2011 by

Na Fakultetu strojarstva i brodogradnje (FSB) je ne 3. kolokviju iz Matematike 1 bio zadan sljedeći zadatak:

Masa populacije se povećava brzinom proporcionalnom samoj masi. Odredite funkciju m(t) koja daje ovisnost mase o vremenu, ako se u godinu dana ona poveća za 50%.

Rješenje. Porast mase populacije je proporcionalan samoj masi, odnosno

\displaystyle\frac{dm}{dt} = k\cdot m,

što se lako rješava separacijom varijabli. Množenjem s dt i dijeljenjem s m dobivamo

\displaystyle \frac{dm}{m} = k\cdot dt

što, nakon integriranja, daje

\displaystyle \ln m = k\cdot t + c.

Antilogaritmiranje nam dalje daje

\displaystyle m = e^{kt + c}=e^{kt}e^c =Ce^{kt},

gdje smo stavili da je C=e^c.

Kako je m(0) = C\cdot e^0 = C, a to je masa u početnom trenutku, možda je bolje staviti C=m_0, pa nam zakon glasi

m(t) = m_o e^{kt}.

Zadatak nam dalje kaže (početni uvjet!) da se masa za godinu dana uvećala za 50%, odnosno

m(1) = m_0e^{k} = 1.5m_0

odakle slijedi

e^k = 1.5\quad\Rightarrow\quad k=\ln 1.5 \approx 0.4055,

pa je rješenje, konačno

m(t) = m_0 e^{0.4055\cdot t}.

Instrukcije iz matematike Zagreb

Ovaj unos je objavljen u Derivacije i primjene, Diferencijalne jednadžbe, Fakultet strojarstva i brodogradnje FSB i označen sa , , , , , . Bookmarkirajte stalnu vezu.

Odgovori

Fill in your details below or click an icon to log in:

Gravatar
WordPress.com Logo

Ovaj komentar pišete koristeći vaš WordPress.com račun. ( Log Out / Promjeni )

Twitter picture

Ovaj komentar pišete koristeći vaš Twitter račun. ( Log Out / Promjeni )

Facebook slika

Ovaj komentar pišete koristeći vaš Facebook račun. ( Log Out / Promjeni )

Otkaži

Spajanje na %s