Pravokutnik maksimalne površine ispod parabole

Objavljeno 22/11/2011 by

Na Fakultetu strojarstva i brodogradnje (FSB) je 2011.na kolokviju zadan sljedeći zadatak:

U prvom kvadrantu ispod parabole y=-x^2+9 upisan je pravokutnik kojemu su stranice paralelne koordinatnim osima. Vidjeti sliku! Odredite točku A(x,y) na paraboli tako da upisani pravokutnik ima maksimalnu površinu. Kolika je ta površina?

 

 

 

Rješenje.

Površina pravokutnika se izračunava množenjem duljina stranica, pa je funkcija površine

P(x) = x\cdot (-x^2 + 9) = - x^3 + 9x

Nađimo stacionarnu točku. Kako je derivacija gornje funkcije P'(x)= - 3x^2 + 9, njezine nultočke su

-3x^2 + 9 = 0\quad\Rightarrow\quad x_{1,2}=\pm\sqrt{3},

od čega samo \sqrt{3} odgovara zahtjevu da se nalazi u intervalu [0, 3]. Provjerimo nalazi li se u njoj zbilja maksimum. Druga derivacija je P''(x) = -6x, pa kako je

P''(\sqrt{3}) = -6\sqrt{3}<0,

to se u \sqrt{3} zbilja nalazi maksimum, a maksimalna površina iznosi:

P(\sqrt{3}) = -(\sqrt{3})^3 + 9\sqrt{3} = 6\sqrt{3}.

Instrukcije iz matematike Zagreb

Ovaj unos je objavljen u Derivacije i primjene, Fakultet strojarstva i brodogradnje FSB, Funkcija jedne varijable i označen sa , , , , , , . Bookmarkirajte stalnu vezu.

Odgovori

Fill in your details below or click an icon to log in:

Gravatar
WordPress.com Logo

Ovaj komentar pišete koristeći vaš WordPress.com račun. ( Log Out / Promjeni )

Twitter picture

Ovaj komentar pišete koristeći vaš Twitter račun. ( Log Out / Promjeni )

Facebook slika

Ovaj komentar pišete koristeći vaš Facebook račun. ( Log Out / Promjeni )

Otkaži

Spajanje na %s