Ako je zadano sin(x) + cos(x), koliko je tg(x) + ctg(x)?

Objavljeno 20/10/2011 by

Povremeno se na BUG-ovom forumu (http://www.bug.hr/forum/) ponavlja sljedeći zadatak: Ako je \sin x + \cos x = \frac{2}{3}, koliko je {\rm tg}\, x + {\rm ctg}\, x? Pogledajmo kako se rješava.

Kako nam je zadan zbroj sinusa i kosinusa, bilo bi korisno pokušati zbroj tangensa i kotangensa prikazati preko sinusa i kosinusa:

{\rm tg}\, x + {\rm ctg}\, x = \displaystyle \frac{\sin x}{\cos x}+\frac{\cos x}{\sin x}=\frac{\sin^2 x+\cos^2 x}{\sin x\cos x}=\frac{1}{\sin x\cos x}

Ostaje nam još nekako od zbroja sinusa i kosinusa dobiti umnožak. To se lako dobije kvadriranjem:

\sin x + \cos x=\frac{2}{3}\qquad \big\slash^2

\sin^2 x + 2\sin x\cos x + \cos^2 x = \frac{4}{9}

Temeljni trigonometrijski identitet nam kaže da je \sin^2 x + \cos^2 x = 1, te prebacivanjem te jedinice na desnu stranu i dijeljenjem s dva konačno dobijemo da je

\sin x\cos x = -\frac{5}{18}

što uvršteno u izraz za zbroj tangensa i kotangensa daje

{\rm tg}\, x + {\rm ctg}\, x = \displaystyle \frac{1}{\sin x\cos x}=\frac{1}{-5/18}=-\frac{18}{5}.

Eto, nije teško. :)

Instrukcije iz matematike Zagreb

.

Ovaj unos je objavljen u Trigonometrija i označen sa , , , , , . Bookmarkirajte stalnu vezu.

Odgovori

Fill in your details below or click an icon to log in:

Gravatar
WordPress.com Logo

Ovaj komentar pišete koristeći vaš WordPress.com račun. ( Log Out / Promjeni )

Twitter picture

Ovaj komentar pišete koristeći vaš Twitter račun. ( Log Out / Promjeni )

Facebook slika

Ovaj komentar pišete koristeći vaš Facebook račun. ( Log Out / Promjeni )

Otkaži

Spajanje na %s